Ортогональная проекция наклонной на плоскость. Перпендикуляр и наклонная

25.08.2022

Урок геометрии в 10 классе

На одном из предыдущих уроков вы познакомились с понятием проекции точки на данную плоскость параллельно данной прямой.

На этом уроке вы продолжите изучение прямых и плоскостей; узнаете, как находится угол между прямой и плоскостью. Вы познакомитесь с понятием ортогональной проекции на плоскость и рассмотрите ее свойства. На уроке будут даны определения расстояния от точки до плоскости и от точки до прямой, угла между прямой и плоскостью. Будет доказана знаменитая теорема о трех перпендикулярах.

Ортогональная проекция

Ортогональная проекция точки и фигуры.

Ортогональная проекция детали.

Ортогональной проекцией точки А на данную плоскость называется проекция точки на эту плоскость параллельно

прямой, перпендикулярной этой плоскости. Ортогональная проекция

фигуры на данную плоскость p состоит из ортогональных проекций на плоскость p всех точек этой фигуры. Ортогональная проекция часто используется для изображения пространственных тел на плоскости, особенно в технических чертежах. Она дает более реалистическое изображение, чем произвольная параллельная проекция, особенно круглых тел.

Перпендикуляр и наклонная

Пусть через точку А, не принадлежащую плоскости p, проведена прямая, перпендикулярная этой плоскости и пересекающая ее в точке В. Тогда

отрезок АВ называется

перпендикуляром, опущенным из точки

А на эту плоскость, а сама точка В - основанием этого перпендикуляра. Любой отрезок АС, где С -

произвольная точка плоскости p, отличная от В, называется наклонной к

этой плоскости.

Заметим, что точка В в этом определении является ортогональной

проекцией точки А, а отрезок АС - Перпендикуляр и наклонная. ортогональной проекцией наклонной AВ.

Ортогональные проекции обладают всеми свойствами обычных параллельных проекций, но имеют и ряд новых свойств.

Пусть из одной точки к плоскости проведены перпендикуляр и несколько наклонных. Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Любая наклонная длиннее как перпендикуляра, так и ортогональной проекции наклонной на эту плоскость.

2. Равные наклонные имеют и равные ортогональные проекции, и наоборот, наклонные, имеющие равные проекции, также равны.

3. Одна наклонная длиннее другой тогда и только тогда, когда ортогональная проекция первой наклонной длиннее ортогональной проекции второй наклонной.

Свойства ортогональной проекции

Доказательство.

Пусть из точки А к плоскости p проведены перпендикуляр АВ и две наклонные АС и AD; тогда отрезки ВС и BD - ортогональные проекции этих отрезков на плоскость p.

Докажем первое утверждение: любая наклонная длиннее как перпендикуляра, так и ортогональной проекции наклонной на эту плоскость. Рассмотрим, например, наклонную AС и треугольник ABC, образованный перпендикуляром AВ, этой наклонной AС, и ее ортогональной проекцией ВС. Этот треугольник прямоугольный с прямым углом в вершине В и гипотенузой AС, которая, как мы знаем из планиметрии, длиннее каждого из катетов, т.е. и перпендикуляра AВ, и проекции ВС.

Из точки А к плоскости pi проведены перпендикуляр АВ и две наклонные AC и AD.

Свойства ортогональной проекции

Треугольники

ABC и ABD

равны по катету и гипотенузе.

Теперь докажем второе утверждение, а именно: равные наклонные имеют и равные ортогональные проекции, и наоборот, наклонные, имеющие равные проекции, также равны.

Рассмотрим прямоугольные треугольники AВС и ABD. Они

имеют общий катет AВ. Если наклонные AС и AD равны, то прямоугольные треугольники AВС и AВD равны по катету и гипотенузе, и тогда BC=BD. Обратно, если равны проекции ВС и BD, то эти же треугольники равны по двум катетам, и тогда у них равны и гипотенузы AС и AD.

противоречит условию. Если ВС < BD, как мы только что доказали, АС < AD, что опять противоречит условию.

Остается третья возможность: ВС > BD. Теорема доказана.

Если ВС больше BD,

то АС больше стороны

АЕ, равной AD.

Пусть на плоскости заданы прямая L и точка A. Опустим из точки A на прямую L перпендикуляр (рис. 1.8, а). Тогда его основание (точку O) называют ортогональной проекцией точки A на прямую L . Если прямая L и точка A заданы в пространстве, то в этом случае ортогональной проекцией точки A на прямую L называют точку O пересечения прямой L с перпендикулярной ей плоскостью, проходящей через точку A (рис. 1.8, б). Если точка A лежит на прямой L, то она совпадает со своей ортогональной проекцией на L.

Для вектора - AB (на плоскости или в пространстве) можно построить ортогональные проекции на прямую L его начала и конца (рис. 1.9). Вектор O A O B , соединяющий эти проекции O A и O B и лежащий на прямой L, называют ортогональной проекцией вектора AB на прямую L.

Прямую, на которой задано одно из двух возможных направлений, называют осью . Выбранное направление на оси изображают с помощью стрелки на соответствующем конце оси. Ортогональную проекцию O A O B вектора AB на ось l можно полностью описать длиной вектора O A O B , приписав ей знак,

указывающий направление вектора. Если направление O A O B совпадает с заданным направлением оси, то берут знак плюс, а если направление вектора противоположно направлению оси, то берут знак минус. Длину вектора O A O B со знаком, определяющим направление этого вектора, называют ортогональной проекцией вектора AB на ось l и обозначают пр l а.

Обратим внимание на то, что ортогональной проекцией вектора на ось является число, в то время как ортогональная проекция вектора на прямую - это вектор. Чтобы вектору соответствовало число как его проекция, на прямой нужно выбрать одно из двух возможных направлений.

Каждый ненулевой вектор l однозначно определяет ось: его можно рассматривать расположенным на некоторой прямой и задающим на ней направление. Ортогональную проекцию вектора на такую ось называют ортогональной проекцией этого вектора на направление вектора l.

Угол между направлениями двух ненулевых векторов называют углом между этими векторами . Угол может изменяться в пределах от 0 до π. Крайние значения 0 и π отвечают коллинеарным векторам , соответственно однонаправленным и противоположно направленным . Если хотя бы один из двух векторов является нулевым , то угол между такими векторами не определен. Удобно, однако, считать, что в этом случае угол имеет произвольное значение. Так, нулевой вектор коллинеарен любому другому, что формально соответствует углу 0 (или π). Конкретное значение, приписываемое углу между нулевым вектором и каким-либо другим, выбирают исходя из ситуации.

Теорема 1.1. Ортогональная проекция вектора а на направление ненулевого вектора l равна длине |а|, умноженной на косинус угла φ между векторами а и l, т.е.

пр l = а|а| cos

где - угол между векторами а и l

◄ Пусть вектор l лежит на прямой L, а его началом является точка A. Совместим начало вектора а с точкой A, и пусть его концом будет точка B (рис. 1.10). Построим ортогональную проекцию C точки B на прямую L. Тогда вектор AC является ортогональной проекцией вектора а = AB на прямую L.

Если угол φ между векторами а и l острый (как это показано на рис. 1.10, а), то конец вектора l и точка C лежат по одну сторону от точки A. В этом случае проекция а на направление вектора l равна длине |AC| = |AB| cosφ катета AC треугольника ABC.

Если угол φ тупой (см. рис. 1.10, б), то конец вектора l и точка C лежат по разные стороны от точки A. Это значит, что векторы AC и l имеют противоположные направления, а проекция вектора а равна - |AC|. В треугольнике ABC угол ψ, прилежащий к катету AC, равен π - φ, поэтому |AC| = |AB| cos(π - φ) = - |AB| cosφ.

Если же φ = π/2 или а = 0, то точка C совпадает с точкой A и вектор AC является нулевым вектором. Однако cosπ/2 = 0, следовательно, и в этом случае утверждение теоремы справедливо.

Теорема 1.2. Ортогональная проекция суммы векторов на направление ненулевого вектора равна сумме их ортогональных проекций на направление этого вектора, а при умножении вектора на число его ортогональная проекция на направление ненулевого вектора умножается на то же число:

пр l (а + b) = пр l а + пр l b, пр l (λа) - λпр l а.

◄ Доказательство следует из рис. 1.11. В случае, изображенном на рис. 1.11, а, имеем пр l а = |AB|, пр l b = -|BC|, пр l (а + b) = |AC| = |AB| - |BC|. В случае, изображенном на рис. 1.11, б, пр l а = |AB| и, если λ > 0, пр l (λа) = |AE| = λ|AB|. Остальные варианты (точка C не принадлежит отрезку AB в случае а, λ ≤ 0 в случае б) рассматриваются аналогично.

Ортогональное проецирование является частным случаем параллельного проецирования, когда направление проецирования S перпендикулярно (ортогонально) плоскости проекций S   1 (рис. 1.11).

Рис. 1.11. Ортогональная проекция прямого угла

Ортогональное проецирование находит широкое применение в инженерной практике для изображения геометрических фигур на плоскости, т. к. обладает рядом преимуществ перед центральным и параллельным (косоугольным) проецированием к которым можно отнести:

а) простоту графических построений для определения ортогональных проекций точек;

б) возможность при определенных условиях сохранить на проекциях форму и размеры проецируемой фигуры.

Указанные преимущества обеспечили широкое применение ортогонального проецирования в технике, в частности для составления машиностроительных чертежей.

Для ортогонального проецирования справедливы все девять инвариантных свойств, рассмотренных выше. Кроме того, необходимо отметить еще одно, десятое, инвариантное свойство, которое справедливо только для ортогонального проецирования.

10. Если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость проекций прямой угол проецируется без искажения (рис. 1.11)

На рис. 1.11 показан прямой угол АВD, обе стороны которого параллельны плоскости проекций  1 . По инвариантному свойству 9.2 этот угол проецируется на плоскость  1 без искажения, т. е. А 1 В 1 D 1 =90.

Возьмем на проецирующем луче DD 1 произвольную точку С, тогда полученный АВС будет прямым, т. к. АВВВ 1 DD 1 .

Проекцией этого прямого угла АВС, у которого только одна сторона АВ параллельна плоскости проекций  1 , будет прямой угол А 1 В 1 D 1 .

Говоря о геометрических фигурах и их проекциях необходимо помнить, что проекцией фигуры называют множество проекций всех ее точек.

1.6. Система трех плоскостей проекций. Эпюр Монжа.

Все пространственные геометрические фигуры могут быть ориентированы относительно декартовой прямоугольной системы координатных осей - системы трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей (рис. 1.12).

Рис. 1.12. Изображение системы трех плоскостей проекций

Эти координатные плоскости обозначаются:

горизонтальная плоскость проекций -  1 ;

фронтальная плоскость проекций -  2 ;

профильная плоскость проекций -  3 .

Линии пересечения этих плоскостей образуют координатные оси: ось абсцисс – Х; ось ординат – Y; ось аппликат – Z. Точка О пересечения координатных осей принимается за начало координат и обозначается буквой О. Положительными направлениями осей считают: для оси x − влево от начала координат, для оси Y − в сторону зрителя от плоскости  2 , для оси z – вверх от плоскости  1 ; противоположные направления считают отрицательными.

Для упрощения дальнейших рассуждений будем рассматривать только часть пространства, расположенную влево от профильной плоскости проекций  3 .

При таком допущении три координатные плоскости проекций образуют четыре пространственных угла – октанта (в общем случае – 8 октантов).

Из рис. 1.12 видно, что ось абсцисс Х делит горизонтальную плоскость проекций  1 на две части: переднюю полу  1 (оси Х и Y) и заднюю полу  1 (оси Х и - Y).

Ось абсцисс Х делит фронтальную плоскость проекций  2 также на две части: верхнюю полу  2 (оси Х и Z) и нижнюю полу  2 (оси Х и - Z).

Оси ординат Y и аппликат Z делят профильную плоскость проекций  3 на четыре части:

верхнюю переднюю полу  3 (оси Y и Z)

верхнюю заднюю полу  3 (оси –Y и Z)

нижнюю переднюю полу  3 (оси Y и –Z)

нижнюю заднюю полу  3 я(оси – Y и –Z)

Для того, чтобы получить плоскую (двухмерную) модель пространственных координатных плоскостей проекций, горизонтальную  1 и профильную  3 плоскости совмещают с фронтальной  2 в том порядке как это показано стрелками на рис. 1.12.

П
ри этом горизонтальная плоскость проекций 1 вращается вокруг оси Х на 90, а профильная плос- кость проекций  3 вращается вокруг оси Z также на 90 (на- правление вращения показано на рис. 1.12).

Полученное таким обра- зом совмещение трех плоскос- тей проекций (рис. 1.13) явля- ется плоской моделью систе- мы трех пространственных

Рис. 1.13. Пространственная модель точки А

оординатных плоскостей.

Для построения плоской модели пространственной геометрической фигуры каждая ее точка проецируется ортогонально на плоскости проекций  1 ,  2 и  3 , которые затем совмещаются в одну плоскость. Полученная таким образом плоская модель пространственной геометрической фигуры называется эпюром Монжа.

Порядок построения эпюры точки, расположенной в первом октанте.

На рис. 1.13 изображена пространственная точка А, координаты которой (x, y, z) показывают величины расстояний, на которые точка удалена от плоскостей проекций.

Для того чтобы получить ортогональные проекции точки А, необходимо из этой точки опустить перпендикуляры на плоскости проекций.

Точки пересечения этих перпендикуляров с плоскостями проекций образуют проекции точки А:

А 1 – горизонтальную проекцию точки;

А 2 – фронтальную проекцию точки;

Рис. 1.14. Эпюр точки А

3 – профильную проекцию точки.

На рис. 1.14 плоскости проекций  1 и  3 совмещены с плоскостью чертежа (с плоскостью проекции  2), а вместе с ними совмещены с плоскостью чертежа и проекции точки А (А 1 , А 2 , А 3) и таким образом получена плоскостная модель координатных плоскостей проекций и плоскостная модель пространственной точки А – ее эпюра.

Положение проекций точки А на эпюре однозначно определяется ее тремя координатами (рис. 1.14).

На рис. 1.13 и рис. 1.14 также видно, что на эпюре горизонтальная и фронтальная проекции точки лежат на одном перпендикуляре к оси Х, а также фронтальная и профильная проекции – на одном перпендикуляре к оси Z:

А 1 А 2  Х, А 2 А 3  Z .

Из рис 1.12 видно, что точки, расположенные в различных октантах, имеют определенные знаки координат.

В таблице приведены знаки координат точек, расположенных в различных октантах

Таблица знаков координат

	Знаки координат

Вопросы для самоконтроля

В чем заключается идея метода проецирования?

В чем заключается сущность центрального проецирования и каковы его основные свойства?

В чем заключается сущность параллельного проецирования и каковы его основные свойства?

В чем заключается сущность ортогонального (прямоугольного) проецирования?

Как формулируется теорема о проецировании прямого угла?

Урок геометрии в 10 классе

Ортогональной проекцией точки А на данную плоскость называется проекция точки на эту плоскость параллельно прямой, перпендикулярной этой плоскости. Ортогональная проекция фигуры на данную плоскость p состоит из ортогональных проекций на плоскость p всех точек этой фигуры.

Ортогональная проекция часто используется для изображения пространственных тел на плоскости, особенно в технических чертежах. Она дает более реалистическое изображение, чем произвольная параллельная проекция, особенно круглых тел.

Пусть через точку А, не принадлежащую плоскости p, проведена прямая, перпендикулярная этой плоскости и пересекающая ее в точке В. Тогда отрезок АВ называется перпендикуляром, опущенным из точки А на эту плоскость, а сама точка В - основанием этого перпендикуляра. Любой отрезок АС, где С - произвольная точка плоскости p, отличная от В, называется наклонной к этой плоскости.

Заметим, что точка В в этом определении является ортогональной проекцией точки А, а отрезок АС - ортогональной проекцией наклонной AВ. Ортогональные проекции обладают всеми свойствами обычных параллельных проекций, но имеют и ряд новых свойств.

1. Любая наклонная длиннее как перпендикуляра, так и ортогональной проекции наклонной на эту плоскость.

Как уже было сказано выше ортогональное проецирование — это частный случай параллельного проецирования. При ортогональном проецировании проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций.

Аппарат такого проецирования состоит из одной плоскости проекций.

Чтобы получить ортогональную проекцию точки А, через неё надо провести проецирующий луч перпендикулярно к П1. Точка А1 называется ортогональной или прямоугольной проекцией точки А.

Чтобы получить ортогональную проекцию А 1 В 1 отрезка АВ , на плоскость П 1 , необходимо через точки А и В провести проецирующие прямые, перпендикулярные П 1 . При пересечении проецирующих прямых с плоскостью П 1 получатся ортогональные проекции А 1 и В 1 точек А и В . Соединив ортогональные проекции А 1 и В 1 получим ортогональную проекцию А 1 В 1 отрезка АВ .

Все свойства параллельного проецирования выполнимы и для ортогонального проецирования. Однако ортогональные проекции обладают ещё некоторыми свойствами.

Свойства ортогонального проецирования:
1. Длина отрезка равна длине его проекции, делённой на косинус угла наклона отрезка к плоскости проекций.

Возьмём прямую АВ и построим её ортогональную проекцию А 1 В 1 на плоскость П 1 . Если провести прямую АС || А 1 В 1 , то из треугольника АВС следует, что |АС| : |АВ| = cos a или |АВ| = |А 1 В 1 | : cos a , т. к. |А 1 В 1 | = |АС| .

2. Кроме того, для ортогонального проецирования будет справедлива теорема о проецировании прямого угла:

Теорема: Если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину.

Доказательство:

Дан прямой угол АВС , у которого по условию прямая ВС АВ и ВС || плоскости проекций П 1 . По построению прямая ВС к проецирующему лучу ВВ 1 . Следовательно, прямая ВС к плоскости b (АВхВВ1) , т. к. она к двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. По условию прямая В 1 С 1 || ВС , поэтому тоже к плоскости b , т. е. и прямой А 1 В 1 этой плоскости. Следовательно, угол между прямыми А 1 В 1 и В 1 С 1 равен 90°, что и требовалось доказать.

Ортогональное проецирование обеспечивает простоту геометрических построений при определении ортогональных проекций точек, а так же возможность сохранять на проекциях форму и размеры проецируемой фигуры. Эти достоинства обеспечили ортогональному проецированию широкое применение в техническом черчении.

Рассмотренные методы проецирования позволяют решить прямую задачу начертательной геометрии, т. е. по оригиналу построить плоский чертёж. Полученные таким образом проекции на одну плоскость дают неполное представление о предмете, его форме и положении в пространстве, т. е. такой чертёж не обладает свойством обратимости.

Чтобы получить обратимый чертеж, т.е. чертеж дающий полное представление о форме, размерах и положении оригинала в пространстве, однокартинный чертеж дополняют. В зависимости от дополнения существуют различные виды чертежей.

Эпюр Монжа или ортогональные проекции. Суть метода ортогональные (прямоугольных) проекций состоит в том, что оригинал ортогонально проецируют на 2 или 3 взаимно-ортогональные плоскости проекций, а затем совмещают их с плоскостью чертежа.
Аксонометрический чертеж. Суть аксонометрического чертежа в том, что сначала оригинал жестко связывают с декартовой системой координат OXYZ , ортогонально проецируют его на одну из плоскостей проекций OXY , или OXZ . Затем параллельным проецированием находят параллельную проекцию полученной конструкции: осей координат OX, OY, OZ, вторичной проекции и оригинала.
Перспективный чертеж. При построении перспективного чертежа сначала строят одну ортогональную проекцию, а затем на картинной плоскости находят центральную проекцию построенной ранее ортогональной проекции и самого оригинала.
Проекции с числовыми отметками и др. Чтобы получить проекции с числовыми отметками ортогонально проецируют оригинал на плоскость нулевого уровня и указывают расстояние от точек оригинала до этой плоскости.

Более подробно остановимся на изучении прямоугольных проекций и аксонометрическом чертеже.

yanshishma.ru

Ортогональная проекция

Перпендикуляр и наклонная

Свойства ортогональной проекции

Свойства ортогональной проекции

1.6. Система трех плоскостей проекций. Эпюр Монжа.